Изучаем математику дистанционно

  1. Дорогие ребята! Все регистрируемся и выполняем задания на сайте EFFOR.BY


Дробные числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т. д., можно записать не только в виде обыкновенных, но и в виде десятичных дробей.

десятичная дробь

 

 Сравнение десятичных дробей

  1. Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше:  7,99 > 6,399.
  1. Если целые части дробей равны, то больше та дробь, у которой десятых больше. Если и десятые равны, то больше та дробь, у которой больше сотых, и т. д.:  85,7 > 85,679;   35,87 > 35,8695;   5,09 < 5,1.

Арифметические действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

  1.  уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;
  2.  записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;
  3.  выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;
  4.  поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

  1.  разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
  2.  поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;
  3.  если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

десятичная дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:

  •  в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;
  •  выполнить деление на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, …).

Представление десятичной дроби в виде обыкновенной
и обыкновенной в виде десятичной

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Если можно, дробь сократить.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

перевод из десятичной в обыкновенную

Не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную. Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.

Учитывая это правило, можно переводить обыкновенную дробь в десятичную не с помощью деления, а приведением ее к знаменателю 10, 100, 1000 путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на недостающие множители

Приведение подобных членов

      Два одночлена называются подобными, если они или равны, или отличаются лишь коэффициентами.
      Одночлены, входящие в состав многочлена, часто называют членами многочлена.
      Если в многочлен входят подобные одночлены, то желательно совершить операцию приведения подобных членов.
      В результате выполнения операции приведения подобных членов подобные одночлены заменяются одним одночленом, коэффициент которого равен алгебраической сумме коэффициентов подобных одночленов.
      Покажем, как выполняется операция приведения подобных членов на примере.
      Пример 1. Привести подобные члены в многочлене

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

      Решение. Преобразуем, если этого не сделано, каждый одночлен, входящий в многочлен, в равный ему одночлен так, чтобы в нём сначала стояла степень буквы   x1 , затем степень буквы   x2 , затем степень буквы   x3   и т.д.:
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
      Отметим в полученном многочлене подобные члены одного вида одной чертой сверху, другого вида – двумя чертами сверху, третьего вида – изогнутой линией сверху и т.д.:
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
      Сгруппируем подобные члены каждого вида и совершим их приведение:
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
      Замечание. Решение примера 1 в учебных целях изложено с подробным и последовательным разбиением на этапы. Конечно же, при наличии опыта (который мы очень рекомендуем приобрести, решая задачи и примеры) приведение подобных членов осуществляется значительно короче и быстрее.

Умножение многочлена на число

      При умножении многочлена на число каждый член этого многочлена умножается на это число.
      Пример 2. Выполнить действие
– (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) .
      Решение. Поскольку
x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 = x3 + (– 3x2y) + 3xy2 + (– y3) ,
      то
– (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) = ( –1)[ x3 + (– 3x2y) + 3xy2 + (– y3)] =
= ( –1) x3 + ( –1)(– 3x2y) + ( –1) 3xy2 + ( –1)(– y3) =
= – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 .
      Замечание. Действие в примере 2 называется раскрытием скобки и, конечно же, при наличии даже небольшого опыта выполняется мгновенно.

Умножение одночлена на одночлен

      Пример 3. Выполнить действие
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
      Решение. Напомним, что при умножении степеней с одним основанием результатом является степень с тем же основанием, показатель которой равен сумме показателей сомножителей. Поэтому при выполнении требуемого в примере действия мы получим следующее:
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

Сложение и вычитание многочленов

      Операции сложения и вычитания многочленов близко связаны с операцией приведения подобных членов.
      Пример 4. Выполнить действия
(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) – (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) + 5x2y .
      Решение. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) – (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) + 5x2y =
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 – x3 – 3x2y – 3xy2 + y3 + 5x2y = – x2y .

Умножение многочлена на многочлен

      При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, а полученные результаты суммируются.
      Заметим, что при умножении двух многочленов, отличных от нуля, получается многочлен, степенькоторого равна сумме степеней многочленов-сомножителей.
      Пример 5. Выполнить действия
(4x3 – 5xy2)(2x2 – x2y + 3xy4) .
      Решение.
(4x3 – 5xy2)(2x2 – x2y + 3xy4) =
= 4x3(2x2 – x2y + 3xy4) + (– 5xy2)(2x2 – x2y + 3xy4) =
= (8x5 – 4x5y + 12 x4y4) + (– 10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6) =
= 8x5 – 4x5y + 12 x4y4 – 10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6 .

 Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Правила



         Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае,
если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа
не 0, то число на 10 без остатка не делится.  

    Числа 10, 20, 30 … , 220, 1200, 1210 … и т. д. делятся на 10 без остатка.

Например:  

                    20 : 10 = 2;           220 : 10 = 22;         2330 : 10 = 233;    


         Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае,
если оно оканчивается на 0 или на 5.    

        Числа 5, 10, 15, 20 … , 220, 225, … и т. д. делятся на 5 без остатка.

Например:  

                  20 : 5 = 4;           225 : 5 = 45;         2335 : 5 = 467 .

        Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5,  
то число на 5 без остатка не делится.  

Например:  

            23 : 5 = 4 
3
5
;           221 : 5 = 44 
1
5
;         2334 : 5 = 466 
4
5
 . 


         Если последняя цифра в записи натурального числа четная
(2, 4, 6, 8) или 0 , то это число делится на 2 без остатка. 

        Числа   2, 4, 6, 8, 10 … , 220, 222, 224, 226, 228, … , 1200, 1202, 1204,  
1206, 1208, 1210, 1212, 1214 … и т. д. делятся на 2 без остатка.

Например:  

                  20 : 2 = 10;           224 : 2 = 112;         2336 : 2 = 1168 .

        Если последняя цифра натурального числа нечетная
(1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится.  

Например:  

            23 : 2 = 11 
1
2
;           221 : 2 = 110 
1
2
;         2337 : 2 = 1168 
1
2
 .    

Признаки делимости на 9 и на 3. Правила



         Натуральное число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр
          кратна трем.  

          Число 762 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:  
          7 + 6 + 2 = 15 — кратна 3       ( 15 : 3=5 ).    


          Число 4587 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:  
          4 + 5 + 8 + 7 = 24 — кратна 3         ( 24 : 3=8 ).    


          Число 3572 не кратно 3, так как сумма его цифр:  
          3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 3 без остатка   ( 17 : 3=5 
2
3
 ).  

         Признак делимости на 9 такой же, как и на 3. Натуральное число
          делится на 9 без остатка, если сумма его цифр кратна девяти.  

          Число 765 делится на 9 без остатка, так как сумма его цифр:  
          7 + 6 + 5 = 18 — кратна 9       ( 18 : 9=2 ).    


          Число 4698 кратно 9, так как сумма его цифр:  
          4 + 6 + 9 + 8 = 27 — делится на 9 без остатка         ( 27 : 9=3 ).    


          Число 3572 не кратно 9, так как сумма его цифр:  
          3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 9 без остатка   ( 17 : 9=1 
8
9
 ). 

Простые и составные числа. Правила



         Натуральное число называют простым, если оно имеет
только два делителя: единицу и само это число.

        Например:  

                              3   делится без остатка на 1 и на 3;  

                              5   делится без остатка на 1 и на 5;  

                              7   делится без остатка на 1 и на 7;  

                            11   делится без остатка на 1 и на 11;   и т. д.    


         Натуральное число называют составным, если оно имеет
более двух делителей.    

        Например:  

                    4   делится без остатка на 1, на 2 и на 4;  

                    6   делится без остатка на 1, на 2, на 3 и на 6;  

                    8   делится без остатка на 1, на 2, на 4 и на 8;  

                    9   делится без остатка на 1, на 3 и на 9;   и т. д.  

         Число 1 имеет только один делитель: само это число (1) .
Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. 


         Любое составное число можно разложить на два множителя,  
каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на
множители нельзя. 


      Примеры разложения соcтавных чисел на множители:  

      4=2•2 ;             6=2•3 ;             8=2•2•2 ;             9=3•3 ;  

      15=3•5 ;           27=3•3•3 ;           44=2•2•11 ;         и т. д.    

Десятичная запись дробных чисел. Правила



         Дроби со знаменателями 10, 100, 1000, 10 000 и т. д. принято записывать без знаменателя. Например: 

    
3
10
   =   0,3 ;         
7
100
   =   0,07 ;       2 
86
100
   =   2,86 ;         25 
34
1000
   =   25,034 .

        В начале числа пишут целую часть (если дробь правильная, то пишут
нуль), после запятой числитель дробной части, который должен иметь
столько же цифр, сколько нулей в знаменателе.

    Десятым соответствует один символ после запятой
            ( 0,5 — пять десятых 
5
10
 ),  

    сотым — два символа
            ( 2,05 — две целых пять сотых 2 
5
100
 ),  

    а тысячным — три
            ( 37,005 — тридцать семь целых пять тысячных 37 
5
1000
 )   и т. д. 

    Числа, записанные в таком виде, называются десятичными дробями. 


         Разберем пример десятичной дроби 23,71.  

        Так как перед запятой стоит 23, значит в этой десятичной дроби  
двадцать три целых, после запятой 71, значит числитель дробной части 71.  
После запятой записано два символа, значит, знаменатель единица с двумя  
нулями, то есть сотня.  

        Читаем: " Двадцать три целых семьдесят одна сотая   (23 
71
100
) ".    


        Десятичная дробь 0,033.  

        Так как перед запятой стоит нуль, значит в этой десятичной дроби  
нуль целых, после запятой 033, значит числитель дробной части 33.  
После запятой записано три символа (033), значит, знаменатель единица  
с тремя нулями, то есть тысяча.  

        Читаем: " Нуль целых тридцать три тысячных ( 
33
1000
) ".    

Обращение десятичной дроби в обычную и обратно
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. При этом не всегда можно получить конечную десятичную дробь.Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если в разложении её знаменателя на простые множители присутствуют только множители 2 и 5.Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень числа 10. Затем к результату справа приписать целую часть, формируя смешанную дробь.Порядок действий в числовых выраженияхОбыкновенные дроби, которые умножают или делят надо перевести в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:
    1) Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели.
    2) Затем — деление и умножение.
    3) Последним шагом выполняется сложение и вычитание.
Если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

 Дробные выражения. Правила

         Нам известно, что дробь   
3
4
   равна частному   3 : 4 ,

значит, выражение     ( 
1
4
+ 
1
5
) : ( 
1
3
− 
1
6
)     =       
( 
1
4
+ 
1
5
)
( 
1
3
− 
1
6
)
 .    


         Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления
обозначен чертой, называют дробным выражением. 


      Найдем значения выражений:

        а)     
( 
1
4
+ 
1
5
)
( 
1
3
− 
1
6
)
     =     
( 
5
20
+ 
4
20
)
( 
2
6
− 
1
6
)
     =     
( 
9
20
)
( 
1
6
)
     =          
9
20
   :   
1
6
     = 


                  =     
9
20
• 
6
1
       =       
54
20
       =     2 
7
10
     =     2,7 



        б)     
1 
2
7
4 
1
2
     =     1 
2
7
   :   4 
1
2
     =     
9
7
   :   
9
2
     =     
9
7
   •   
2
9
       =       
9•2
9•7
     =    
2
7
   ;   





        в)     
1,2
0,6
2 
1
5
       =       
1,2
0,6
   :   2 
1
5
         =       
1,2•10
0,6•10
   :   
11
5
         = 


                  =       
12
6
   •   
5
11
         =       2   •   
5
11
         =       
10
11
     .    


Онлайн- учебник по математике здесь

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Сообщения (Atom)